Смарт Кенгуру 2023 для 11 класса: ответы на вопросы

В четверг 16 марта 2023 года состоится Международная математическая конкурс-игра “Кенгуру-2023”. Олимпиаду Смарт Кенгуру по математике пишут школьники по всей России. Ниже предоставлены официальные задания и ответы для игры «Смарт-Кенгуру».

Каждый, желающий может проверить свои силы и принять участие. Сложность заданий зависит возраста участников. Различают задания для 1- 2 класса, для 3 – 4, для 5 – 6, для 7 – 8, для 9-10 и 11 классов. Предлагаем вашему вниманию ответы на вопросы Смарт Кенгуру 2023 для учеников 11-го класса.

Ответы на Смарт Кенгуру 2023 для учеников 11 класса

Тестовые задания составлены в блоки, соответствующие структуре заключительной части профильного ЕГЭ по математике и представляющие собой задачи c полным решением. Каждое из этих заданий может быть одним из шагов для решения соответствующей задачи экзамена.

Блок I. Задача 12
1. На каком интервале лежит больший корень уравнения:
    4 ^х −2 ^x+3+12 = 0?

(А) (−1; 0)      (Б) (0; 1)      (В) (1; 2)      (Г) (2; 3)       (Д) (3; 4)

Ответ: Г

2. Сколько корней уравнения 3 ^{sin 2x} = 9^{cos x} лежит на отрезке [0; 5π]?

(А) 1      (Б) 2      (В) 3     (Г) 5     (Д) 10

Ответ: Г

3. Сколько корней имеет уравнение

    (А) 1     (Б) 2     (В) 3     (Г) 4     (Д) 5

Ответ: Б

4. Какой из промежутков целиком содержится в области определения функции

Ответ: Д

Блок II. Задача 13
Диагонали равнобочной трапеции ABCD сбоковыми сторонами BC и AD пересекаются в точке O. Известно, что BC = CD = AD = 1, AB = 2.
Трапеция является основанием пирамиды SABCD, причем плоскость SAB перпендикулярна плоскости ABCD, и SA = SB = √5.

 

5. Какая из прямых перпендикулярна SD?

(А) AB       (Б) AC       (В) AD
(Г) SC        (Д) SA

Ответ: Б

6. Чему равен объем пирамиды SABCD?

Ответ: Б

7. Косинус угла между SO и плоскостью ABC равен

Ответ: А

8. Угол между прямыми AS и CB равен

Ответ: А

Блок III. Задача 14
9. Решите неравенство x + √x − 6 < 0

(А) (−3; 2)      (Б) [0; 2)      (В) [0; 4)      (Г) [0; √2)      (Д) (4; 9)

Ответ: В

10. Решите неравенство 

(А) (−∞; −2); [0; 1)         (Б) (−2; 0]; (1; 2]
(В) (−∞; −2); (−2; 0]; (1; 2]        (Г) (1; 2]       (Д) (−∞; −2]; [0; 1]

Ответ: В

11. Решите неравенство lg x > log₂ x + 1

Ответ: Д

12. Какое из следующих неравенств невозможно, если x¹ < x² < x³?

Ответ: Г

Блок IV. Задача 15
13. 40% от числа 2 умножили на 2% от числа 40. Что получилось?

(А) 60% от 1/20    (Б) 80% от 80     (В) 20% от 1/20
(Г) 4% от 16     (Д) 8% от 16

Ответ: Г

14. Коммерсант Вася продавал варенье по 100 рублей за банку. Он захотел поднять цену на 20%. Для этого Вася сначала повысил цену на n%, а потом объявил скидку 20%. В итоге исходная цена  действительно выросла на 20%.
Чему равно n? 

(А) 20      (Б) 30      (В) 40      (Г) 50      (Д) 60

Ответ: Г

15. Автомат может превратить данное число x либо в  x + 3, либо в x − 2, либо в . Пусть y — наибольшее число, которое можно получить с помощью этого автомата за 3 шага, начав с числа 1,99. Тогда

Ответ: Д

16. Сто гномиков едят пиццу. Сначала первый гномик съедает 1% пиццы, потом второй — 2% оставшейся части, потом третий — 3% остатка и т.д., пока последний не доест оставшийся кусок. Который по счету гномик съест наибольшую часть пиццы?

(А) первый (Б) девятый (В) десятый (Г) пятидесятый (Д) сотый

Ответ: В

Блок V. Задача 16
Треугольники ABC и EDF — одинаковые правильные, O — точка пересечения прямых P Q и CB, P Q⊥DE, периметр AQEP равен 4.

 

17. Найдите AB.

Ответ: А

18. Найдите EQ.

Ответ: В

19. Найдите sin ∠QP D

Ответ: А

20. Найдите площадь AP OB.

Ответ: Д

Блок VI. Задача 17
21. В точке с какой ординатой пересекаются прямые y = ax+b  и
y = bx+a   при  a ≠ b?

Ответ: Б

22. Точка A с координатами (1; −10) лежит на левой ветви параболы y = x² + bx + c. Какое из утверждений А–Г может быть неверным?

(А) b < 0     (Б) b² > 4c     (В) b + c < 0     (Г) c < 0
(Д) все утверждения А–Г обязательно верны

Ответ: Г

23. Если число 2 — корень уравнения x² + bx + c = 0, то корнем уравнения x² + (b − 2)x + 2c = 0 обязательно является число

(А) 1     (Б) 3     (В) 4     (Г) 6     (Д) 8

Ответ: В

24. При каких значениях параметра a график функции  имеет ровно 2 точки пересечения с прямой y = −x + 1?

Ответ: Г

Блок VII. Задача 18
25. Для скольких чисел n из набора 1, 2, . . . , 100 число nⁿ является квадратом натурального числа?

(А) 5      (Б) 10     (В) 50      (Г) 54      (Д) 55

Ответ: Д

26. У флориста имеются розы: 84 красных, 24 белых и 36 желтых. Какое наибольшее количество одинаковых букетов он может составить, если хочет использовать все имеющиеся розы?

(А) 4       (Б) 6       (В) 8       (Г) 12       (Д) 18

Ответ: Г

27. Сколько натуральных чисел имеют сумму цифр 2023, а произведение цифр 6?

(А) 2018 + 2019 · 2020       (Б) 2018 + 2019 · 1010
(В) 2017 + 2018 · 2019       (Г) 2019 · 2020
(Д) 2023 · 2024

Ответ: А

28. Если сумма четырех положительных чисел равна 20, то произведение двух больших из этих чисел обязательно

(А) меньше 99      (Б) больше 0,001      (В) не равно 25
(Г) не равно 75     (Д) не равно 100

Ответ: Д