Ответы “Смарт Кенгуру-2024” для 11 классов, математический конкурс-игра

В среду 31 января 2024 года состоится Международная математическая конкурс-игра “Смарт Кенгуру-2024”. Олимпиаду Смарт Кенгуру по математике пишут школьники по всей России. Ниже предоставлены официальные задания и ответы для игры «Смарт-Кенгуру».

Каждый, желающий может проверить свои силы и принять участие. Сложность заданий зависит возраста участников. Различают задания для 1 класса, для 2-10 и 11 классов.

Учащиеся 11-х классов, готовящиеся сдавать профильный экзамен по математике, смогут принять участие в Тестировании «Смарт ЕГЭ».

Цель – оценить готовность к наиболее сложной части ЕГЭ.

Задания в форме теста с выбором ответов, вопросы сгруппированы в блоки, 26 заданий соответствующие тематике заданий 13–19 профильного экзамена по математике, каждый из вопросов теста может быть одним из шагов в решении задачи ЕГЭ, на решение отводится 90 минут.

Каждый участник получает подробную рецензию, содержащую оценку его готовности к выполнению заданий ЕГЭ, требующих развернутого ответа.

Предлагаем вашему вниманию ответы на вопросы Смарт Кенгуру 2024 для учеников 11 классов.

Ответы на Смарт Кенгуру 2024 для учеников 11 классов

Блок I. (Задача 13)

1. На каком из следующих интервалов лежит меньший корень уравнения

Ответ: Б

2. Решите уравнение

Ответ: Д

3. Сколько корней имеет уравнение 2^х = 1+cos x на интервале (−10π; 10π)?

(А) 5 (Б) 6 (В) 10 (Г) 11 (Д) 20

Ответ: Г

4. Какой из интервалов целиком содержится в области определения функции?

Ответ: Д

Блок II. (Задача 14)

Все ребра параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны 1, ∠DAB = 60^◦ , ∠A₁AB = ∠A₁AD = 45^◦, точка Q — проекция вершины A₁ на плоскость АВС.

5. В какой паре прямые взаимно перпендикулярны?

(А) B₁C₁ и DC (Б) A₁D и BC (В) A₁B и DD₁ (Г) AA₁ и BD (Д) A₁В и АС

Ответ: Г

6. Найдите АQ.

Ответ: В

7. Найдите объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.

Ответ: А

8. Найдите синус угла между прямой BB₁ и плоскостью ABC.

Ответ: Б

Блок III. (Задача 15)

9. Решите неравенство lg² (x − 3) < 4.

(А) (3,01; 103) (Б) (3; 103) (В) (3,01; +∞) (Г) (−∞; 103) (Д) (3; 5)

Ответ: А

10. Сколько целых чисел удовлетворяет неравенству

(А) 2 (Б) 3 (В) 4 (Г) 6 (Д) бесконечно много

Ответ: В

11. Какова длина промежутка, являющегося множеством решений неравенства

(А) 1 (Б) 2 (В) 3 (Г) 4 (Д) это бесконечный промежуток

Ответ: Б

12. Пусть 0 < a < b. Какое из неравенств А–Д может не выполняться?

Ответ: Г

Блок IV. (Задача 16)

13. Числитель дроби увеличили на 40%. На сколько процентов надо уменьшить знаменатель, чтобы получилась дробь в два раза больше исходной?

(А) 20% (Б) 30% (В) 40% (Г) 45% (Д) 50%

Ответ: Б

14. Дана возрастающая геометрическая прогрессия b₁, b₂, . . . Известно, что b₃ = 2, b₇ = 8. Найдите b₁ + b₂ + . . . + b₁₀₀.

Ответ: Г

15. Винни-Пух пошел в магазин за медом. Цена одного горшочка — 1 фунт, но при покупке n горшочков (n < 100) покупатель получает скидку n%. Когда Винни вернулся домой, Кристофер Робин посмотрел на его покупку и сказал: «Глупенький мой мишка! Ты ухитрился заплатить наибольшую возможную сумму денег!» Сколько фунтов заплатил Винни-Пух?

(А) 10 (Б) 15 (В) 20 (Г) 25 (Д) 50

Ответ: Г

16. В январе Иван Иванович взял кредит S тыс. рублей на три года под 20% годовых. Первого мая начисляются проценты на остаток долга, а в июне Иван Иванович выплачивает часть долга. В первые два года он выплачивал по трети от остатка долга, а в последний год выплатил 2400 тыс. рублей и закрыл кредит. Найдите S.

(А) 1225 (Б) 1024 (В) 2000 (Г) 3125 (Д) 4000

Ответ: Г

Блок V. (Задача 17)

Дан треугольник ABC. Известно, что AB = BC = 2, ∠B = 30^◦ , AN и BP — высоты, точка K — середина стороны AB.

17. Найдите площадь треугольника APK.

Ответ: Г

18. Найдите AC.

Ответ: А

19. Найдите ∠KNP.

(А) 30^◦ (Б) 45^◦ (В) 60^◦ (Г) 75^◦ (Д) 90^◦

Ответ: Г

20. Какой из четырехугольников А—Г вписанный?

(А) AKNC (Б) KBCP (В) KBNP (Г) ABNP (Д) ни один из А—Г

Ответ: Г

Блок VI. (Задача 18)

21. Назовем квадратный трехчлен x² + bx + c удивительным, если числа b и c различны и являются его корнями. Сколько существует удивительных квадратных трехчленов?

(А) 0 (Б) 1 (В) 2 (Г) 3 (Д) 4

Ответ: Б

22. При каких значениях параметра a решение неравенства включает интервал (7; 8)?

(А) (−∞; 7) (Б) (−∞; 7] (В) (−∞; 7]; [8; +∞) (Г) (−∞; 8] (Д) [7; +∞)

Ответ: Б

23. Какое из уравнений А–Г при некотором значении параметра a имеет единственный корень?
Ответ: В

24. Найдите все значения a, при которых система

имеет ровно 3 решения.

Ответ: Г

Блок VII. (Задача 19)

25. Какое из чисел А–Д нельзя представить в виде произведения трех натуральных чисел, одно из которых простое, а два других — составные?

(А) 2⁵ (Б) 2 · 3 · 4 · 5 (В) 2 · 3² · 5 (Г) 6 · 12 (Д) 1000

Ответ: В

26. Сколько существует пятизначных чисел, у которых среди любых трех подряд идущих цифр нет одинаковых?

(А) 9⁵ (Б) 8⁵ (В) 9² · 8³ (Г) 9 · 8⁴ (Д) 9³ · 8²

Ответ: В

27. Назовем натуральное число n богатым, если сумма всех его натуральных делителей больше, чем 2n. Например, число 12 является богатым: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 > 24. Каким не может быть богатое число?

(А) точным квадратом (Б) числом, кратным 2024 (В) больше миллиона (Г) степенью числа 3 (Д) каждое из свойств А—Г возможно

Ответ: Г

28. На столе стоит 30 тарелок, на каждой из которых лежит не более 30 булочек. Иногда в окно влетает Карлсон, выбирает несколько тарелок и съедает одинаковое количество булочек с каждой из них. За какое наименьшее число визитов Карлсон наверняка сможет съесть все булочки?

(А) 4 (Б) 5 (В) 6 (Г) 15 (Д) 30

Ответ: Б